EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

Transcript

1 EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y) x y f(x) f(y). Συμβολίζουμε με c Y (X) την ελάχιστη παραμόρφωση με την οποία ο X εμφυτεύεται στον Y. Αν c Y (X) α τότε λέμε ότι ο X είναι α εμφυτεύσιμος στον Y. Εδώ, ο χώρος Y είναι κάποιος l p, p. Γράφουμε c p (X) αντί για c lp (X). 'Anw frˆgmata gia l -emfuteôseic Εστω (X, ρ) ένας μετρικός χώρος. Μια εμφύτευση f : (X, ρ) l d προσδιορίζεται από τις d «συντεταγμένες» f,..., f d : X R. Προκειμένου να δώσουμε άνω φράγμα για την c (X), θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε τις f i έτσι ώστε για κάποιον γ να ισχύουν τα εξής: (α) Για κάθε x, y X και για κάθε i =,..., d, (β) Για κάθε x, y X υπάρχει i = i(x, y) {,..., d} ώστε f i (x) f i (y) ρ(x, y). (.) f i (x) f i (y) ρ(x, y). (.2) γ Τότε, ρ(x, y) f i (x) f i (y) = max f i(x) f i (y) ρ(x, y) (.3) i d γ για κάθε x, y X, δηλαδή η f = (f,..., f d ) είναι γ-εμφύτευση του X στον l d (και c (X) γ). Μια τεχνική που χρησιμοποιείται συχνά για την κατασκευή τέτοιων εμφυτεύσεων είναι η εξής. Θεωρούμε μια οικογένεια (A i ) i I υποσυνόλων του X και ορίζουμε f i : X R με Από την τριγωνική ανισότητα για την ρ έπεται ότι f i (x) = ρ(x, A i ) = inf { ρ(x, u) : u A i }. (.4) f i (x) f i (y) = ρ(x, A i ) ρ(y, A i ) ρ(x, y) (.5) για κάθε x, y X και για κάθε i I. Μένει να επιλέξουμε την οικογένεια (A i ) i I με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται το (β) για όσο γίνεται μικρότερη σταθερά γ. Πρόταση. (εμφύτευση του Fréchet). Κάθε μετρικός χώρος (X, ρ) με n σημεία εμφυτεύεται ισομετρικά στον l n. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι X = {x,..., x n }. Για κάθε i =,..., n ορίζουμε f i (x) = ρ(x, {x i }) = ρ(x, x i ). (.6) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: για κάθε x, y X και για κάθε i n, f i (x) f i (y) = ρ(x, x i ) ρ(y, x i ) ρ(x, y). Συνεπώς, f(x) f(y) l n = max i n f i(x) f i (y) ρ(x, y). (.7)

2 Από την άλλη πλευρά, αν x = x i και y = x j στον X, έχουμε f(x i ) f(x j ) l n f j (x i ) f j (x j ) = ρ(x i, x j ) ρ(x j, x j ) = ρ(x i, x j ). (.8) Δηλαδή, f(x) f(y) l n = ρ(x, y) για κάθε x, y X. Εστω (X, ρ) ένας μετρικός χώρος με n σημεία. Το επιχείρημα της Πρότασης 3.. δείχνει ότι μπορούμε να εμφυτεύσουμε ισομετρικά τον X στον l n. Αρκεί να ορίσουμε την εμφύτευση f = (f 2,..., f n ) : X l n (αυτή παραμένει ισομετρία). Αν όμως θεωρήσουμε διάσταση d σημαντικά μικρότερη από n, τότε η ελάχιστη δυνατή παραμόρφωση με την οποία μπορούμε να εμφυτεύσουμε τον X στον l d θα είναι μια συνάρτηση των n και d. Θεώρημα.2 (Matousek). Εστω γ = 2q 3 ένας περιττός φυσικός αριθμός και έστω (X, ρ) ένας μετρικός χώρος με n σημεία. Υπάρχουν d = O(qn /q log n) και γ-εμφύτευση του X στον l d. Απόδειξη. Γράφουμε X = {x,..., x n }. Η απόδειξη θα βασιστεί στην ιδέα που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω. Οι συντεταγμένες f i της εμφύτευσης θα είναι συναρτήσεις απόστασης από κατάλληλα υποσύνολα του X τα οποία επιλέγονται τυχαία. Ορίζουμε p = n /q και για κάθε j =, 2,..., q θέτουμε p j = min { 2, pj}. Τέλος, θέτουμε m = 24n /q log n. Για κάθε i =,..., m και j =, 2,..., q, επιλέγουμε τυχαίο υποσύνολο A ij του X ως εξής. Θεωρούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές {Zij k : i m, j q, k n} σε κάποιο χώρο πιθανότητας (Ω, A, P), οι οποίες παίρνουν τις τιμές 0 ή με πιθανότητα και θέτουμε P(Z k ij = 0) = p j και P(Z k ij = ) = p j, (.9) A ij (ω) = {x k : Z k ij(ω) = }. (.0) Με άλλα λόγια, κάθε σημείο του X ανήκει στο A ij με πιθανότητα p j και η επιλογή του x k είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του x s αν k s. Αν (i, j) (i, j ), τότε το A ij είναι ανεξάρτητο από το A i j. Θέτουμε d = qm και ορίζουμε (την τυχαία εμφύτευση) f : X l d με f(x) = (ρ(x, A ),..., ρ(x, A m ),..., ρ(x, A q ),..., ρ(x, A mq )). (.) Θα δείξουμε ότι με θετική πιθανότητα η f είναι (2q )-εμφύτευση. Λήμμα.3. Εστω x, y δύο διακεκριμένα σημεία του X. Υπάρχει δείκτης j {, 2,..., q} ώστε αν τα τυχαία σύνολα A ij επιλέγονται όπως παραπάνω τότε, για κάθε i =,..., m, P ( ρ(x, A ij ) ρ(y, A ij ) γ ) ρ(x, y) p 2. (.2) Απόδειξη. Θέτουμε = γ ρ(x, y). Ορίζουμε B 0 = {x}, B την κλειστή μπάλα ακτίνας με κέντρο το y, B 2 την κλειστή μπάλα ακτίνας 2 με κέντρο το x, και ούτω καθεξής, με τελευταία την B q που είναι η κλειστή μπάλα ακτίνας q με κέντρο το x (αν ο q είναι άρτιος) ή το y (αν ο q είναι περιττός). Θυμηθείτε ότι γ = 2q, οπότε οι ακτίνες των B q και B q έχουν άθροισμα ίσο με ρ(x, y). Δηλαδή, οι τελευταίες δύο μπάλες εφάπτονται. Για κάθε t = 0,,..., q γράφουμε n t για το πλήθος των σημείων του X που ανήκουν στην B t. Δείχνουμε πρώτα ότι υπάρχει κάποιος δείκτης j {,..., q} με την ιδιότητα: για κάποιο 0 t q ισχύουν οι n t n (j )/q και n t+ n j/q. (.3) Αυτό είναι απλή συνέπεια της αρχής του περιστερώνα: χωρίζουμε το διάστημα [, n] σε q διαστήματα I, I 2,..., I q, θέτοντας [ I j = n (j )/q, n j/q] (.4) και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. Αν η ακολουθία (n, n 2,..., n q ) δεν είναι αύξουσα, υπάρχει κάποιος t ώστε n t+ < n t. Υπάρχει j ώστε n t I j. Γι αυτόν τον j ικανοποιείται το ζητούμενο. 2

3 2. Αν = n 0 n n q n τότε, από την αρχή του περιστερώνα, υπάρχουν t και j ώστε οι n t και n t+ να ανήκουν στο I j. Γι αυτόν τον j ικανοποιείται το ζητούμενο. Θα δείξουμε ότι για τον δείκτη j που επιλέξαμε ικανοποιείται το συμπέρασμα του Λήμματος. Εστω i {,..., m}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα E : «το σύνολο A ij περιέχει σημείο της B t» (.5) E 2 : «το σύνολο A ij είναι ξένο προς το εσωτερικό της B t+». Αν δείξουμε ότι P[E E 2 ] p 2 τότε παίρνουμε το Λήμμα, αφού για κάθε A ij που ικανοποιεί τα E και E 2 έχουμε ρ(x, A ij ) (t+) και ρ(y, A ij ) t (αν ο t είναι περιττός) ή ρ(y, A ij ) (t+) και ρ(x, A ij ) t (αν ο t είναι άρτιος). Σε κάθε περίπτωση, ρ(x, A ij ) ρ(y, A ij ) = ρ(x, y). (.6) γ Γράφουμε Ομως, P[E ] = P[A ij B t = ] = ( p j ) nt e pjnt. (.7) { } { } p j n t p j n (j )/q = p j p j+ = min 2, pj p j+ min 2, p. (.8) Άρα, αν p 2 έχουμε P[E ] e /2 > 3 p 3, ενώ αν p < 2 έχουμε P[E ] e p p 3. Από την άλλη πλευρά, αφού p j 2, P[E 2 ] ( p j ) nt+ ( p j ) nj/q ( p j ) /pj 4. (.9) Η B t και το εσωτερικό της B t+ έχουν κενή τομή, άρα τα E και E 2 είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Επεται ότι P[E E 2 ] = P[E ] P[E 2 ] p 3 4 = p 2, (.20) κι αυτό αποδεικνύει το Λήμμα. Συνέχεια της απόδειξης του Θεωρήματος.2. Από τον τρόπο ορισμού της f έχουμε για κάθε x, y X. Θα δείξουμε ότι το ενδεχόμενο f(x) f(y) ρ(x, y) (.2) «E : για κάθε x, y X υπάρχουν i και j ώστε ρ(x, A ij ) ρ(y, A ij ) γ ρ(x, y)» έχει θετική πιθανότητα. Για σταθερά x, y X, θεωρούμε τον j = j(x, y) του Λήμματος.3. Η πιθανότητα να μην ισχύει η ανισότητα για κανέναν i m φράσσεται από ( p 2) m e pm/2 n 2 (.22) από τον ορισμό του m. Το πλήθος των ζευγαριών {x, y} είναι ( n 2) < n 2. Επεται ότι Υπάρχουν λοιπόν A ij για τα οποία η εμφύτευση f ικανοποιεί την P[E c ] <. (.23) f(x) f(y) ρ(x, y) (.24) γ για κάθε x, y X. Η f : X l mq έχει παραμόρφωση γ και d = mq = O(qn /q log n). 3

4 2 'Anw frˆgmata gia EukleÐdeiec emfuteôseic Σε αυτή την Παράγραφο δείχνουμε το άνω φράγμα του Bourgain για την c 2 (X). Θεώρημα 2. (Bourgain). Κάθε μετρικός χώρος (X, ρ) με n σημεία εμφυτεύεται σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο με παραμόρφωση O(log n). Η απόδειξη του Θεωρήματος 2. είναι παρόμοια με αυτήν του Θεωρήματος.2 για τις εμφυτεύσεις μετρικών χώρων στον l d. Για την ακρίβεια, προηγήθηκε χρονικά της δουλειάς του Matousek και είναι το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της περιοχής στο οποίο χρησιμοποιήθηκε αυτή η ιδέα: Οι συντεταγμένες της συνάρτησης που θα ορίσουμε θα είναι συναρτήσεις απόστασης από υποσύνολα του X. Θέτουμε q = log 2 n +. Για κάθε j =,..., q θεωρούμε τυχαίο υποσύνολο A j του X παίρνοντας κάθε σημείο του X να ανήκει ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα σημεία στο A j με πιθανότητα 2 j. Λήμμα 2.2. Εστω x, y δύο διακεκριμένα σημεία του X. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί,..., q 0 με + + q = 2ρ(x, y) ώστε για κάθε j =,..., q. P j = P( ρ(x, A j ) ρ(y, A j ) j ) 2 (2.) Απόδειξη. Ορίζουμε μια αύξουσα ακολουθία θέτοντας r 0 = 0 και r j τη μικρότερη ακτίνα για την οποία ισχύουν ταυτόχρονα οι B(x, r j ) 2 j και B(y, r j ) 2 j, (2.2) όπου B(x, r) = {y X : ρ(x, y) r}. Γράφουμε j(x, y) για το μεγαλύτερο φυσικό j q για τον οποίο r j < 2 ρ(x, y), και θέτουμε r j = 2ρ(x, y) για κάθε j(x, y) < j q. Θα δείξουμε ότι το συμπέρασμα του Λήμματος ικανοποιείται με j = r j r j. Παρατηρήστε ότι αν q j > j(x, y)+ δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα. Εστω j {, 2,..., j(x, y) + }. Θεωρούμε το τυχαίο A j X τα στοιχεία του οποίου επιλέγονται με πιθανότητα 2 j. Από τον ορισμό του r j έχουμε B (x, r j ) < 2 j ή B (y, r j ) < 2 j, όπου B (x, r) = {y X : ρ(x, y) < r}. Παρατηρήστε ότι το παραπάνω ισχύει και στην περίπτωση j = q, αφού X 2 q από τον ορισμό του q. Παίρνοντας αν χρειαστεί το y στη θέση του x, μπορούμε να υποθέσουμε ότι B (x, r j ) < 2 j. Το τυχαίο σύνολο A j ικανοποιεί την ρ(x, A j ) ρ(y, A j ) j αν τέμνει την B(y, r j ) και είναι ξένο προς την B (x, r j ). Η πιθανότητα να συμβαίνει αυτό το ενδεχόμενο υπολογίστηκε στο Λήμμα.3 (πάρτε p = /2). Κάθε απεικόνιση ϕ : X R επάγει μια γραμμική ψευδομετρική ν στον X, η οποία ορίζεται από την ν(x, y) = ϕ(x) ϕ(y). (2.3) Γράφουμε ν A για τη γραμμική ψευδομετρική που αντιστοιχεί στην απεικόνιση y ρ(y, A). Παρατηρήστε ότι ν A (x, y) ρ(x, y) για κάθε A X και για κάθε x, y X: θα γράφουμε ν A ρ και θα λέμε ότι η ν A κυριαρχείται από την ρ. Το επόμενο Λήμμα δείχνει ότι αν μια μετρική ρ στο X προσεγγίζεται από έναν κυρτό συνδυασμό γραμμικών ψευδομετρικών, οι οποίες κυριαρχούνται από την ρ, τότε υπάρχει καλή εμφύτευση του (X, ρ) στον l 2. Λήμμα 2.3. Εστω (X, ρ) ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος, και έστω ν,..., ν N γραμμικές ψευδομετρικές με ν i ρ για κάθε i =,..., N. Υποθέτουμε ότι N α i ν i γ ρ (2.4) για κάποιους μη αρνητικούς αριθμούς α,..., α n που έχουν άθροισμα ίσο με. γ-εμφύτευση του (X, ρ) στον l 2. Τότε, υπάρχει 4

5 Απόδειξη. Εστω ϕ i : X R η απεικόνιση που επάγει τη γραμμική ψευδομετρική ν i. Ορίζουμε μια εμφύτευση f : X l N 2 ως εξής: Από τη μία πλευρά έχουμε f(y) = ( α ϕ (y),..., α N ϕ N (y)). (2.5) f(x) f(y) 2 2 = N α i ν i (x, y) 2 ρ(x, y) 2, (2.6) αφού α + + α N = και όλες οι ν i κυριαρχούνται από την ρ. Από την άλλη πλευρά, με απλή εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz έχουμε ( N ) /2 f(x) f(y) 2 = α i ν i (x, y) 2 (2.7) ( N ) /2 ( N ) /2 = α i α i ν i (x, y) 2 N α i ν i (x, y). Από την υπόθεση, η τελευταία ποσότητα είναι μεγαλύτερη ή ίση από γ ρ(x, y). Απόδειξη του Θεωρήματος 2.. Για κάθε A X η απεικόνιση y ρ(y, A) επάγει μια γραμμική ψευδομετρική που κυριαρχείται από την ρ. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα 2.2 θα δείξουμε ότι υπάρχει κυρτός συνδυασμός αυτών των ψευδομετρικών, ο οποίος φράσσεται από κάτω από την 24q ρ. Για το σκοπό αυτό, για κάθε A X και για κάθε j =,..., q ορίζουμε π j (A) = P[A j = A] (2.8) όπου A j το τυχαίο σύνολο που τα σημεία του επιλέγονται ανεξάρτητα και με πιθανότητα 2 j από το X. Από το Λήμμα 2.2, για κάθε ζευγάρι {x, y} σημείων του X έχουμε π j (A) ν A (x, y) π j (A) ν A (x, y) (2.9) {:ν A (x,y) j} 2 j. Προσθέτοντας ως προς j =,..., q, παίρνουμε q π j (A) ν A (x, y) 2 Θέτουμε j= α A = q q j= j = ρ(x, y). (2.0) 24 q π j (A). (2.) j= Χρησιμοποιώντας την π j(a) = βλέπουμε ότι α A =. (2.2) Από την (2.0) παίρνουμε α A ν A ρ, (2.3) 24q και το Λήμμα 2.3 δείχνει ότι ο X εμφυτεύεται στον l 2 με παραμόρφωση 24q. Είδαμε ότι το λήμμα των Johnson-Lindenstrauss μας εξασφαλίζει την εξής «αρχή αναγωγής της διάστασης» για Ευκλείδειες εμφυτεύσεις: 5

6 Αν ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος X εμφυτεύεται με παραμόρφωση α σε κάποιον C log X Ευκλείδειο χώρο, τότε εμφυτεύεται με παραμόρφωση 2α στον l2, όπου C > 0 απόλυτη σταθερά. Από το Θεώρημα 2. παίρνουμε λοιπόν άμεσα το εξής: Θεώρημα 2.4. Κάθε μετρικός χώρος (X, ρ) με n σημεία εμφυτεύεται με παραμόρφωση O(log n) στον l d 2 για κάποιον d = O(log n). 6